מהי דרך הפיתרון? בנוסף, על איזה יחסיות ניתן להסיק מאלכסון קובייה?

אלכסון בקוביה שומר על אותו יחס לצלע. בדף הקודם בשאלה לדוגמה 7 (עמוד 129 במהדורה שלי) חישבנו את האלכסון בתיבה ואם נציב במקום A,B וC רק A נקבל שאורך האלכסון בקוביה הוא שורש 3 כפול הצלע. אם האלכסון קטן פי 2 גם הצלע תקטן באותו יחס. עכשיו נשאר רק לבדוק איזו תשובה מתאימה אנחנו יודעים ששינוי באורך צלע יגרור שינוי באותו יחס בריבוע בשטחים ובאותו יחס בחזקת 3 בנפחים. מכיוון שכל השטחים יגדלו באותו יחס אז היחס בין שטח הפנים לשטח המעטפת לא ישתנה.

לא הבנתי. איך היחס לא ישתנה? אפשר להדגים את זה עם מספרים בבקשה?

בוא נעשה סדר. כשאורך כלשהו בקוביה משתנה ביחס מסוים, אז: 1. כל האורכים האחרים משתנים באותו יחס. למשל, המקצועות, האלכסונים, אלכסוני הפאות, וכל קו אחר שעוב בקוביה (למשל הקו שיוצא מאמצע מקצוע כלשהו לעבר קודקוד כלשהו). 2. כל השטחים משתנים ביחס ריבועי. שטח הפנים, המעטפת שטח פאה וכו', כולם ישתנו ביחס ריבועי. לדוג' אם המקצוע (אורך) גדל פי 3, אז שטח הפנים יגדל פי 9, גם המעטפת פי 9, וגם שטח כל פאה פי 9. 3. כל הנפחים יגדלו ביחס של חזקת 3. נפח הקוביה, או נפח חלק מסוים מהקוביה. למשל אם המקצוע (אורך) גדל פי 4, אז הנפח ישתנה פי 64 (4 בחזקת 3). במשאלה שלנו האלכסון קטן פי 2, לכן: 1. כל האורכים יקטנו פי שתיים 2. כל השטחים יקטנו פי 4 3. כל הנפחים יקטנו פי 8 לכן תשובה (1) שגויה - הנפח יקטן פי 8 תשובה (2) שגויה - שטחים קטנים פי 4 תשובה (3) - שטח הפנים קטן פי 4, וגם המעטפת קטנה פי 4, לכן היחס ביניהם לא השתנה. תשובה (4) שגויה - מפני שהנפח קטן פי 8, ושטח הפנים, כמו שאר השטחים, קטן פי 4, לכן היחס ביניהם השתנה.